Finalmente he descubierto como se soluciona el bug:
Es simple, compra todas las armas que te falten por comprar in-game (no lo hagas en el Battlelog o en el menú del juego, hazlo mientras juegas) y cada vez que te maten, en el momento que la partida te deja cambiar de armamento, ve cambiando de arma principal, pistola y gadgets.
Hazlo con todas las armas, intenta matar a algún enemigo con ellas y luego haces lo mismo con la otra facción y veras en el BattleLog o en el menú "Mi Agente" que ya estará desbloqueado la otra parte del Sindicato de Especialista.
Se trata de un BUG que ha aparecido en las últimas actualizaciones, el servidor no transfiere los datos del jugador, por eso no se desbloquea y en el objetivo de comprar diez armas o gadget nunca llega a contarse aunque te aparezca que lo has conseguido.
Luego he encontrado otra manera de conseguir la reputación 4 en diez partidas diferentes y es que existen servidores dedicados para conseguirlo, uno de ellos lo he encontrado de chiripa en la sección "Encontrar Servidores", y son servidores que se anuncian por ello y no permiten que la gente se mate, simplemente es para que consigáis este tipo de misiones complicadas o para subir experiencia.
Os ponéis el 50% de aumento de reputación (o 100%, lo que tengáis) y os vais a las modalidades Puente, ahí cogéis un vehículo y os movéis continuamente por el escenario ganando puntos, es muy fácil, además, en el momento que tengáis las 4 de reputación (recordad activarlo cuando os lo piden) podéis saliros y volver a entrar, ya que en el momento que tengáis las cuatro activadas ya os cuenta, no hace falta esperar para terminar la partida.
En una hora o dos como mucho (siempre y cuando encontréis uno de estos servidores exclusivos) lo tendréis todo conseguido para conseguir la dichosa escopeta de doble cañón.
Un saludo y suerte